传热：能量守恒

热力学第一定律将内能定义表述为：封闭系统的内能变化 ΔU 等于系统吸收的热量 减去系统所做的功 ：

(1)

如果系统可以运动，则方程（1）可以扩展为包含系统动能 ：

(2)

在分析体积无限小的流体时，我们可以改写方程（2），得到总内能守恒方程（参考资料 1）：

(3)

在上式中：

总应力张量通常写为：

(4)

其中， 表示压力， 表示黏性应力张量。

方程（3）右侧第二项表示表面力所做的功，在使用 定义后，该项可以写为

(5)

该方程右侧第一项通常称为压力功，第二项称为黏性功。这两项可以通过以下方式进一步分解：

(6) 方程（6）的第一行表示可逆效应，可以描述使内能增加的功以及内能做功的过程。第二行描述不可逆效应，即：功如何通过黏性耗散使内能增加，以及黏性效应如何使动能减少。

方程（3）包含动能守恒方程。通过将速度 与动量方程进行点积，可以推导出该方程。执行代数运算后，可以得到：

(7)

从上式可以看出，总能量方程（3）中体力做的所有功都会改变动能。方程（7）右侧其余的项包含方程（6）中描述的影响动能的表面力做功部分。从方程（3）中减去方程（7），可以得到内能方程：

(8)

如果存在由反应或与辐射相互作用等产生的内热源，则需要添加一个附加的内热源项 ，此时的内能方程变为：

(9)

内能是一个热力学状态变量，很少用于实际应用。较为常用的物理量是焓 ，它通过下式与内能关联：

(10)

将方程（10）代入方程（9），经过重新整理，可以得到焓方程（参考资料 2）：

(11)

方程（11）为守恒形式，这种方式是通过在编写方程左侧时，将密度和速度包含在散度运算符中来实现的。使用连续性方程可以推导出焓方程的非守恒形式。方程（11）左侧可以展开为以下形式：

(12)

方程（12）右侧的第一项是连续性方程乘以焓，因此恒等于零。方程（11）由此可以写为：

(13)

即使方程（13）为非守恒形式，但仍可以描述焓守恒。

相信所有工程师都熟悉温度概念，因此用温度描述能量守恒非常方便。焓与温度 和压力的关系通过以下微分关系来表征：

(14)

其中， 为恒压热容，β 为体积膨胀系数。

方程（14）可用于替换方程（13）中的 。再次调用连续性方程，可以得到温度方程：

(15)

最后一步是使用傅里叶导热定律 （ 为导热系数）来定义传导热通量矢量 。据此可以得到温度方程：

(16)

观察上式可以发现，只有在恢复焓或内能的情况下，才能改写守恒形式的温度方程。

温度方程是另一种表征能量守恒的方式，在数学上等效于方程（3）。然而，在使用数值方法实现方程时，不同的守恒方程并不等效。许多商业软件都基于有限体积法，并求解守恒形式的总焓输运方程。通过这种方式，这些商业软件可以实现总能量守恒。但总焓方程容易产生数值振荡，从而降低数值精度。因此，求解温度方程相对要稳定、精确得多。有限元法支持求解温度方程，同时还能实现总能量守恒（参考资料 3）。

对于理想气体， 项等于一，此时方程（16）变为：

(17)

如果流体不可压缩，则压力功项为零，方程（16）可以简化为：

(18)

对于大多数工程应用而言，如果系统没有经历明显的压力变化，或者马赫数远小于一，则压力功项也可以忽略不计。

在一些特殊情况下，剪切速率非常高，此时的黏性加热就显得非常重要。轴承系统和液压系统便是两个典型的工程例子。然而，在大多数其他情况下，黏性加热可以忽略不计，方程（18）可进一步简化为：

(19)